文章依據GB/T8170-2008《數值修約規則與極限數值的表示和判定》標準，對有效數字的概念、有效數字與儀器準確度關系、數值修約、有效數字表示方法和有效數字數學運算規則做深入闡述。
有效數字是指在實驗測量及分析運算工作中能夠測量和得到的數字，測量時，把通過直讀獲得的準確數字叫做可靠數字，把通過估讀得到的那部分數字叫做存疑(不可靠、不確定、不準)數字，把測量結果中能夠反映被測量大小的帶有一位存疑數字的全部數字叫有效數字，有效數字是為了體現測量值和計算結果實際達到的準確度。在記錄、計算時應以測量可能達到的精度為依據來確定數據的位數和取位。如果參加計算的數據的位數取少了，就會因測量的精度不準而影響計算結果的應有精度；如果位數取多了，易使人誤認為測量精度很高，且增加了不必要的計算工作量。
1、準確測量
有效數字保留的位數，應根據分析方法與儀器的準確度來決定，一般使測得的數值中只有最后一位是可疑的。例如在用精確度為0.0002g的分析天平稱取試樣0.5000g，這不僅表明試樣的質量0.5000g，還表明稱量的誤差在±0.0002g以內。如將其質量記錄成0.50g，則表明該試樣是在臺秤上稱量的，共稱量誤差為0.02g，故記錄數據的位數不能任意增加或減少。又如在分析天平上，測得秤量瓶的質量為10.4320g，這個記錄說明有6位有效數字，最后一位是可疑的。即稱量瓶的實際質量應為10.4320±0.0002g。無論計量儀器如何精密，其最后一位數總是估計出來的，因此所謂有效數字就是保留末一位不準確數字，其余數字均為準確數字。同時從上面的例子也可以看出有效數字是和儀器的準確程度有關，即有效數字不僅表明數量的大小而且也反映測量的準確度。
對于滴定管、移液管和吸量管，它們都能準確測量溶液體積到0.01mL、所以當用50mL滴定管測定溶液體積時，如測量體積大于10mL小于50mL時，應記錄為4位有效數字，例如寫成24.22mL；如測定體積小于10mL，應記錄3位有效數字，例如寫成8.13mL、當用25mL移液管移取溶液時，應記錄為25.00mL；當用5mL吸量管取溶液時，應記錄為5.00mL；當用250mL容量瓶配制溶液時，所配溶液體積應即為250.0mL；當用50mL容量瓶配制溶液時，應記錄為50.00mL。
對于0-15V的電壓表，其精確度為0.5V，只能做五分之一估讀，估出0.1V，0.2V，0.3V，0.4V，0.5V雖然不估讀，但為了使小數點后的位數對齊，不需要補零！當記錄0.5V，1.0V，5.0V，10.5V，12.5V，13.0V是正確的。
對于0-0.6A的電流表，其準確度是0.02A，只能做二分估讀，估出0.01A，當記錄為0.02A，0.03A，0.10A(是0.02A的5倍），0.12A(是0.02A的6倍)，0.20A(是0.02A的10倍)，0.27A是正確的。
對于多用表的歐姆檔，因刻度不均勻，是無法估讀的，只能叫粗測(知道大概)！電阻箱無估讀，直接計數就是，如987.67。
對于游標卡尺，精確度(主尺的最小刻度值-標尺的最小刻度值)有0.1mm、0.05mm、0.02mm三種，小數點后的位數只要和精度對齊即可，至于小數前的位數是與測量值的大小有關的。例如對精度是0.1mm的卡尺讀數為0.8mm、10.6mm、12.8mm、128.9mm都對；對精度是0.05mm的卡尺讀數為0.10mm、10.15mm、108.55mm 都對．對精度是0.02mm的卡尺讀數為0.04mm、10.12mm、13.56mm、108.78mm、120.80mm都對。為了把0.1mm的卡尺讀數和其它兩種卡尺讀數在小數點后對齊，根據其讀數原理和有效數字的規則，可以給它們加零，即0.80mm、10.60mm、12.80mm、128.90mm，但其它兩種卡尺不加零！
對于精確度為0.01mm的螺旋測微器，要估讀到0.001mm，即小數點后有三位有效數字，如0.141mm、6.004mm、11.901mm、20.578mm等。
當刻度尺測量計錄為8.0cm=80mm=8.0×10-2m(均為兩位有效數字)時，可知刻度尺的精確度為1cm，當記錄為8.00cm=80.0mm=8.00×10-2m(場為三位有效數字)時，刻度尺的精確度為1mm。由此可見，物理單位并不影響有效數字的位數。可見：測量結果所記錄的數字，應與所用儀器測量的準確度相適應。
2、修約規則
我國GB/T8170-2008《數值修約規則與極限數值的表示和判定》關于數值修約規則的原文內容如下：
3 數值修約規則
3.1 確定修約間隔
a) 指定修約間隔為10-n(n為正整數)，或指明將數值修約到n位小數；
b)指定修約間隔為1，或指明將數值修約到“個”數位；
c)指定修約間隔為10n(n為正整數)，或指明將數值修約到10n數位，或指明將數值修約到“十”、“百”、“千”......數位。
3.2 進舍規則
3.2.1 擬舍棄數字的最左一位數字小于5，則舍去，保留其余各位數字不變。
例：將12.1498修約到個數位，得12；將12.1498修約到一位小數，得12.1。
3.2.2 擬舍棄數字的最左一位數字大于5,則進一，即保留數字的末位數字加1。
例：將1268修約到“百”數位，得13×102(特定場合可寫為1300)。
注：本標準示例中，“特定場合”系指修約間隔明確時。
3.2.3 擬舍棄數字的最左一位數字是5，且其后有非0數字時進一，即保留數字的末位數字加1。
例：將10.5002修約到個數位，得11。
3.2.4 擬舍棄數字的最左一位數字為5，且其后無數字或皆為0時，若所保留的末位數字為奇數（1，3，5，7，9)則進一，即保留數字的末位數字加1；若所保留的末位數字為偶數（0，2，4，6，8)，則舍去。
例1：修約間隔為0.1(或10-1)
擬修約數值 修約值
1.050 10×10-1(特定場合可寫成為1.0)
0.35 4×10-1(特定場合可寫成為0.4)
例2：修約間隔為1000(或103)
擬修約數值 修約值
2500 2×103(特定場合可寫成為2000)
3500 4×103(特定場合可寫成為4000)
3.2.5 負數修約時，先將它的絕對值按3.2.1~3.2.4的規定進行修約，然后在所得值前面加上負號。
例1：將下列數字修約到“十”數位：
擬修約數值 修約值
-355 -36×10(特定場合可寫為-360)
-325 -32×10(特定場合可寫為-320)
例2：將下列數字修約到三位小數，即修約間隔為10-3：
擬修約數值 修約值
-0.0365 -36×10-3(特定場合可寫為-0.036)
3.3 不允許連續修約
3.3.1 擬修約數字應在確定修約間隔或指定修約數位后一次修約獲得結果，不得多次按3.2規則連續修約。
例1：修約97.46，修約間隔為1。
正確的做法：97.46→97；
不正確的做法，97.46→97.5→98。
例2：修約15.4546，修約間隔為1。
正確的做法：15.4546→15；
不正確的做法：15.454 6→15.455→15.46→15.5→16。
3.3.2 在具休實施中，有時測試與計算部門先將獲得數值按指定的修約數位多一位或幾位報出，而后由其他部門判定。為避免產生連續修約的錯誤，應按下述步驟進行。
3.3.2.1 報出數值最右的非零數字為5時，應在數值右上角加“+”或加“-”或不加符號，分別表明已進行過舍，進或未舍未進。
例：16.50+表示實際值大于16.50，經修約舍棄為16.50；16.50-表示實際值小于16.50，經修約進一為16.50。
3.3.2.2 如對報出值需進行修約，當擬舍棄數字的最左一位數字為5，且其后無數字或皆為零時，數值右上角有“+”者進一，有“-”者舍去，其他仍按3.2的規定進行。
例1：將下列數字修約到個數位（報出值多留一位至一位小數）。
實測值 報出值 修約值
15.4546 15.5- 15
-15.4546 -15.5- -15
16.5203 16.5+ 17
-16.5203 -16.5+ -17
17.5000 17.5 18
3.4 0.5單位修約與0.2單位修約
在對數值進行修約時，若有必要，也可采用0.5單位修約或0.2單位修約。
3.4.1 0.5單位修約(半個單位修約)
0.5單位修約是指按指定修約間隔對擬修約的數值0.5單位進行的修約。
0.5單位修約方法如下：將擬修約數值X乘以2，按指定修約間隔對2X依3.2的規定修約，所得數值(2X修約值)再除以2。
例：將下列數字修約到“個”數位的0.5單位修約。
擬修約數值X 2X 2X修約值 X修約值
60.25 120.50 120 60.0
60.38 120.76 121 60.5
60.28 120.56 121 60.5
-60.75 -120.50 -122 -61.0
3.4.2 0.2單位修約
0.2單位修約是指按指定修約間隔對擬修約的數值0.2單位進行的修約。
0.2單位修約方法如下：將擬修約數值X乘以5，按指定修約間隔對5X依3.2的規定修約，所得數值(5X修約值)再除以5。
例：將下列數字修約到“百”數位的0.2單位修約。
擬修約數值X 5X 5X修約值 X修約值
830 4150 4200 840
842 4210 4200 840
832 4160 4200 840
-930 -4650 -4600 -920
①當保留n位有效數字，若第n+1位數字≤4就舍掉。
②當保留n位有效數字，若第n+1位數字≥6時，則第n位數字進1。
③當保留n位有效數字，若第n+1位數字等于5且后面數字為0時，則第n位數字若為偶數時就舍掉后面的數字，若第n位數字為奇數時加1；若第n+1位數字等于5且后面還有不為0的任何數字時，無論第n位數字是奇或是偶都加1。
這一法則的具體運用如下：
(1)將28.175和28.165處理成4位有效數字，則分別為28.18和28.16。
(2)若被舍棄的第一位數字大于5，則其前一位數字加1，例如28.2645處理成3為有效數字時，其被舍去的第一位數字為6，大于5，則有效數字應為28.3。
(3)若被舍去的第一位數字等于5，而其后數字全部為零時，則是被保留末位數字為奇數或偶數(零視為偶)，而定進或舍，末位數是奇數時進1，末位數為偶數時還進1，例如28.350、28.250、28.050處理成3位有效數字時，分別為28.4、28.2和28.0。
(4)若被舍棄的第一位數字為5，而其后的數字并非全部為零時，則進1，例如28.2501，只取3位有效數字時，成為28.3。
(5)若被舍棄的數字包括幾位數字時，不得對該數字進行連續修約，而應根據以上各條作一次處理。如2.154546，只取3位有效數字時，應為2.15，若是按2.154546→2.15455→2.1546→2.155→2.16，得出的2.16是錯誤的！
練習：將下組數據保留一位小數：
45.77≈45.8；43.03≈43.0；0.26647≈0.3；10.3500≈10.4；38.25≈38.2；47.15≈47.2；25.6500≈25.6；20.6512≈20.7
3、正確表示
①有效數字中只應保留一位欠準數字，因此在記錄測量數據時，只有最后一位有效數字是欠準數字。
②在有效數字中，“0”在有效數字中有兩種意義：一種是作為數字定值，另一種是有效數字。例如在分析天平上稱量物質，得到如下質量：質量(g)10.1430，2.1045，0.2104，0.0120，有效數字位數分別是6位，5位，4位，3位。
以上數據中“0”所起的作用是不同的。在10.1430中兩個“0”都是有效數字，所以它有6位有效數字；在2.1045中的“0”也是有效數字，所以它有5位有效數字；在0.2104中，小數前面的“0”是定值用的，不是有效數字，而在數據中的“0”是有效數字，所以它有4位有效數字；在0.0120中，“1”前面的兩個“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效數字，所以它有3位有效數字。
可見：數字中間的“0”和末尾的“0”都是有效數字，而數字前面所有的“0”只起定值作用。
③以“0”結尾的正整數，有效數字的位數不確定
例如4500這個數，就不會確定是幾位有效數字，可能為2位或3位，也可能是4位，遇到這種情況，應根據實際有效數字書寫成：4.5×103是2位有效數字；4.50×103是3位有效數字；4.500×103是4位有效數字。因此很大或很小的數，常用10的乘方表示。當有效數字確定后，在書寫時一般只保留一位可疑數字，多余數字按數字修約規則處理。
④2.998x104(2.998乘以10的4次方)中，保留3個有效數字為3.00×104。
⑤對數的有效數字為小數點后的全部數字，如1gx=1.23有效數字為2、3；lga=2.045有效數字為0、4、5，pH=2.35有效數字為3、5；
⑥π等常數，具有無限位數的有效數字，在運算時可根據需要取適當的位數。
數學與物理常數的有效數字位數可任意選取，一般選取的位數應比測量數據中位數最少者多取一位。
例如：π可取=3.14或3.142或3.1416......；在公式中計算結果不能由于“2”的存在而只取一位存疑數字，而要根據其他數據來決定。
4、計算規則
①加減法：以小數點后位數最少(即以絕對誤差最大)的數據為基準，其他數據修約至與其相同，再進行加減計算，最終計算結果保留最少的位數。
例1 0.0121+25.64+1.05782=?
修約計算0.01+25.64+1.06=26.71
上例相加3個數字中，25.64中的“4”已是可疑數字，因此最后結果有效數字的保留應以此數為準，即保留有效數字的位數到小數點后面第二位。
例2 計算50.1+1.45+0.5812=?
修約計算：50.1+1.4+0.6=52.1
練習：26.65-3.905-26.65-3.90=22.75
②乘除法：以有效數字最少(即以相對位數量大)的數據為基準，其他有效數修的至相同，再進行
乘除運算，計算結果仍保留最少的有效數字。
例1 計算0.0121×25.64×1.05728=?
解 修約為：0.0121×25.6×1.06=?計算后結果是：0.3283456，結果仍保留為三位有效數字，記錄為：0.0121×25.6×1.06=0.328
分析 這個計算中3個數的相對誤差分別為：
E%=(±0.0001)/0.0121×100=±8%
E%=(±0.01)/25.64×100=±0.04%
E%=(±0.00001)/1.05782×100=±0.0009%
結論 第一個數的相對誤差最大(有效數字為3位)，應以它為準，將其他數字根據有效數字修約原則，保留3位有效數字，然后相乘即可。
練習 計算2.5046×2.005×1.52≈2.50×2.00×1.52=7.60
例2 當把1.13532×1010保留3個有效數字時，結果為1.14×1010。
③乘方、開方后的有效數字位數與被乘方和被開方之數的有效數字的位數相同。
例3 (0.341)2=0.116
④指數、對數、三角函數運算結果的有效數字位數由其改變量對應的數位決定，如前述三示例。
⑤自然數，在分析化學中，有時會遇到一些倍數和分數的關系，如：水的相對分子量＝2×1.008+16.00=18.02；在這里“2×1.008”中的“2”看作是一位有效數字。因為它們是非測量所得到的數，是自然數，其有效數字位數可視為無限的。
在常見的常量分析中，一般是保留四位有效數字，但在水質分析中，有時只要求保留2位或3位有效數字，應視具體要求而定。
例4 運算中若有π、e等常數，以及√2、√3、1/2等系數，其有效數字可視為無限，不影響結果有效數字的確定。
綜合以上分析可知
有效數字的末位是估讀數字，存在不確定性。一般情況下不確定的有效數字只取一位，其位數即是測量結果的存疑數字的位置；有時不確定的數字需要取兩位數字(存疑數字因計算進位，會使準確數字變為存疑)，其最后一個位數才與測量結果的存疑數字的位置對應。
但要注意：具休規則有一定適用范圍，在通常情況下，由于近似的原因，如不嚴格要求可認為是正確的。由于有效數字的最后一位是不確定度所在的位置，因此有效數字在一定程度上反映了測量值的不確定度(或誤差限值)，測量值的有效數字位數越多，測量的相對不確定度越??；有效數字位數越少，相對不確定度就越大?？梢姡行底挚梢源致苑从硿y量結果的不確定度。
有效數字的運算一般遵循：
(1)可靠數字之間運算的結果為可靠數字。
(2)可靠數字與存疑數字，存疑數字與存疑數字之間運算的結果為存疑數字。
(3)測量數據一般只保留一位存疑數字．
(4)運算結果的有效數字位數不由數學或物理常數來確定。
(5)運算結果將多余的存疑數字舍去時應按照“四舍六入五成雙”的法則進行處理，即小于等于四則舍；大于五則入；等于五時，根據其前一位按奇入偶舍處理。
作者：尹明德
